Abdelkader Kersani - Preuves par induction dans le calcul de superposition

Cette thèse s'inscrit dans le cadre de la démonstration automatique, un domaine de recherche situé à l'intersection de la logique mathématique, de l'informatique théorique et de l'intelligence artificielle. Nous nous intéressons à des formules de la logique du premier ordre où certaines constantes sont interprétées dans un domaine défini inductivement, comme les entiers. Le problème de la validité n'est pas semi-décidable pour ces formules. Le but de cette thèse est donc d’accroître les capacités des procédures de preuve les plus efficaces pour la logique du premier ordre (fondées sur le calcul de résolution et de superposition) afin de tenir compte de ces constantes particulières. Pour cela, nous adaptons le calcul de superposition en ajoutant notamment un mécanisme de détection de cycles qui simule une forme d'induction mathématique. Nous étudions dans un premier temps le cas particulier des entiers, puis nous généralisons certains des résultats obtenus au cas où les constantes inductives sont définies à l’aide de constructeurs monadiques (des mots). Nous présentons des classes syntaxiques pour lesquelles nous pouvons assurer la complétude et/ou la décidabilité. Nous décrivons un outil appelé SuperInd, fondé sur le démonstrateur Prover9, implémentant les résultats précédents. Enfin, nous décrivons certaines expérimentations et procédons à des comparaisons avec d'autres approches.

Mots clés : Démonstration automatique, calcul de superposition, induction, schémas de preuves

The thesis research field is 'Automated deduction' an area of mathematical logic and theoretical computer science, it's also considered a sub-field of artificial intelligence. We consider first order formulas where some constant symbols are defined in an inductive domain. The validity problem is not semi-decidable for these formulas. This work aims to increase the capabilities of the usual first order proof procedures (usually based on superposition and resolution calculus) to handle these particular constant symbols. Thus, we adapt the superposition calculus using a loop detection mechanism encoding a form of mathematical induction. We first consider the particular case of natural numbers, then we generalize some of these results to the case where the inductive constant symbols are defined with monadic constructors (words). We present some syntactic classes for which we can ensure completeness and/or decidability. We describe a new tool named SuperInd, based on the theorem prover Prover9, implementing our previous results. Finally we describe some experimentations and some comparisons with other approaches.

 

Key words : Automated deduction, superposition calculus, induction, proof schemata